teresa oviedo

Resumen

Esta investigación se inscribe en el campo de formación matemática y didáctica

de profesores. Desde esta perspectiva, ella informa y ejemplifica la aplicación

del modelo del conocimiento didáctico-matemático (CDM) en el análisis de

las metodologías de clases universitarias de matemática. Este modelo está

basado en las herramientas teórico-metodológicas del enfoque ontosemiótico

(EOS) del conocimiento y la instrucción matemática.

Este análisis adopta una perspectiva cualitativa: descriptiva e interpretativa

con estudio de caso. Las fuentes de datos han sido transcripciones de las

grabaciones de las clases de un docente muestra de estudio en un tema

específico de matemáticas: funciones.

A partir de ello, se presentan resultados parciales con respecto a la

aplicación del modelo CDM, los cuales muestran algunas de las características

de la metodología de clase del docente en estudio. Se evidencian aspectos

deficientes del conocimiento del docente, a partir de lo cual se incentiva a la

reflexión sobre los conocimientos que se requiere en la gestión de enseñanza

docente.

Palabras clave: Análisis de la información, enseñanza universitaria,

formación de docentes, matemática, metodología

Abstract

This research focusses its attention in the field of mathematical and didactical

teacher’s instruction; in this field, the teacher plays a fundamental role in the

improvement of the teaching and learning process. From this point of view, this

research informs and shows specific examples of the application of the didactical

mathematical knowledge (DMK), in the analysis of the methodology of university

mathematics lectures. This model is based on the theoretical-methodological tools

of the Onto Semiotic Approach (OSA) to mathematical knowledge and teaching.

This analysis adopts a qualitative perspective: descriptive and interpretative

whit case study. The data sources are the transcriptions of the video recording

of the math lectures where the professor discusses a specific mathematics topic:

functions.

This paper presents partial results regarding the application of the DMK model.

These results show some characteristics of the professor’s lecture methodology. It

has been evidenced some deficiencies in the professor’s knowledge, encouraging

reflection on the knowledge required in the management of a professor’s teaching.

Keywords: Information analysis, university teaching, teacher’s instruction,

mathematics, methodology

172

propuesta de análisis de la metodología de clases matemáticas universitarias

Propuesta de análisis de la metodología de clases matemáticas

universitarias: El modelo del conocimiento didáctico-

matemático

1. Introducción

El conocimiento de un profesor de matemáticas incluye muchos componentes

adicionales al conocimiento matemático, tales como conocimientos para iden-

tificar la relación e interrelación entre estos conocimientos y su didáctica. «[…]

estos conocimientos permitirán al profesor tener criterios para seleccionar las

tareas, elaborar otras relacionadas, prever conflictos potenciales y planificar

con sentido sus intervenciones en el aula» (Godino, Gonzato & Fernández,

2010, p. 342).

De acuerdo con Moreno y Azcárate (2003), en la mayoría de universida-

des, los docentes se inclinan a una enseñanza de carácter normativo, en la que

es el estudiante un receptor pasivo del discurso del docente; frente a ello, pro-

ponen que debe haber un cambio en el papel del docente, que reflexione sobre

su propia práctica para generar un aprendizaje más acorde con los diferentes

estilos de aprendizaje de sus estudiantes. Además del dominio de la disciplina

que se enseña, es necesario que el docente posea una didáctica estratégica en

el desarrollo de sus clases. Sin embargo, uno de los problemas en didáctica

de la matemática es la identificación de componentes del conocimiento del

profesor requeridos para una enseñanza efectiva de tópicos específicos de la

matemática. Ante este problema, es necesario caracterizar el conocimiento del

profesor con la finalidad de que este reconozca en su metodología los aspectos

matemáticos y didácticos para la gestión de una enseñanza idónea.

Existen varios modelos teóricos que «permiten analizar la actuación del

profesor, describir la práctica docente, evaluar los conocimientos requeridos

para una buena enseñanza de las matemáticas y consecuentemente elaborar

planes de formación de profesores» (Godino, Batanero, Font & Giacomone,

2016, p. 285), es decir, caracterizar mediante sistemas de categorías el cono-

cimiento requerido para la enseñanza de las matemáticas. Se encuentran, por

ejemplo, los modelos de Schulman (1986, 1987): conocimiento del contenido,

conocimiento pedagógico del contenido (PCK), conocimiento curricular, co-

nocimiento pedagógico general, conocimiento de los estudiantes y sus caracte-

rísticas, conocimientos de los contextos educativos y conocimiento de los fines,

propósitos y valores de la educación. Asimismo, se debe mencionar el estudio

de Shoenfeld y Kilpatrick (2008) sobre la «proficiencia», así como la propuesta

del cuarteto del conocimiento (KQ) de Rowland, Huckstep y Thwaites (2005),

entre otros².

I 173

En la investigación de Pino-Fan y Godino (2015), se puede ver detalles al respecto.

teresa oviedo

Aunque la problemática de la enseñanza de las matemáticas se presenta

en los diferentes niveles educativos, no existe un acuerdo universal sobre un

marco teórico para describir el conocimiento de los profesores de matemáti-

ca (Rowland & Ruthven, 2011). Bajo esta perspectiva, Godino (2009) realiza

un análisis de los principales modelos de conocimiento matemático para la

enseñanza, en los cuales identifica ciertas limitaciones, frente a las que pro-

pone un modelo teórico: el modelo del conocimiento didáctico-matemático

(CDM). Dicho modelo contempla algunas de las categorías de los modelos an-

teriormente citados, que se complementan y desarrollan con las herramientas

teórico-metodológicas del enfoque ontosemiótico (EOS) del conocimiento y

la instrucción matemática (Godino & Batanero, 1994, 1998; Godino, Batanero

& Font, 2007). Las categorías y subcategorías del modelo CDM posibilitan los

conocimientos que deberían tener los docentes para la gestión adecuada del

aprendizaje de sus estudiantes.

Con este modelo, entonces, se puede establecer -de acuerdo con la me-

todología de clases matemáticas utilizada por los docentes universitarios- un

análisis pormenorizado, minucioso, de toda la trama de actividades realizadas

en la actividad de enseñanza. Las categorías y subcategorías, así como las he-

rramientas del EOS, las detallaremos de forma concisa en la siguiente sección.

El objetivo de esta investigación es mostrar, dentro de la metodología de

clases del docente (muestra de estudio), las características de su conocimiento

didáctico y matemático en el tema de funciones, analizado mediante el modelo

CDM. A partir de ello, se busca inducir a que los docentes de matemáticas to-

men conciencia de la trama de objetos y procesos que se ponen en juego en su

actividad de enseñanza, y contemplen el análisis de sus clases para la mejora de

su actividad de enseñanza. Para ello, se propone realizar este análisis mediante

el modelo denominado «el modelo del conocimiento didáctico-matemático»,

que permite identificar sistemáticamente y minuciosamente estos objetos y

procesos mediante categorías y subcategorías.

Se enfatiza que con el modelo CDM se han realizado varias investigacio-

nes en el marco de formación de profesores de matemática y esto se aplica en

los diferentes niveles educativos. En particular, en esta investigación, se aplica

este modelo a la enseñanza matemática en el nivel universitario.

De los cinco niveles del EOS, que se detallan en la siguiente sección, se

aplica de manera parcial el primer nivel, el segundo nivel y quinto nivel res-

pectivamente: sistema de prácticas matemáticas, configuración de objetos y

procesos, y la idoneidad didáctica. Las dimensiones del CDM que se utilizan

corresponden a dos de las tres dimensiones: parte de la dimensión matemática

y parte de la dimensión didáctica (las facetas epistémica, interaccional y me-

diacional), cuyos análisis son parte de una investigación más amplia, en la que

se considera todas las dimensiones del CDM y todos los niveles del EOS.

174

propuesta de análisis de la metodología de clases matemáticas universitarias

2. Marco teórico

En esta investigación, se propone el modelo del conocimiento

didáctico-matemático (Godino, 2009; Pino-Fan & Godino, 2015) para el

análisis de la metodología de clases matemáticas universitarias. Se eligió este

modelo, porque surge como un compendio del análisis de las investigaciones de

modelos teóricos vistos anteriormente. Además, este organiza sistemáticamente

categorías y subcategorías de conocimientos que deberían tener los docentes

para gestionar adecuadamente los aprendizajes de sus estudiantes basándose

en la aplicación de las herramientas de análisis didáctico propuestas por el

enfoque ontosemiótico (EOS) del conocimiento y la instrucción matemática

(Godino & Batanero, 1994, 1998; Godino, Batanero & Font, 2007), que permiten

realizar un estudio minucioso de las diversas categorías de conocimientos del

docente de matemáticas. A continuación, se describirá de manera concisa las

herramientas del EOS y las categorías y subcategorías del modelo CDM.

En diversas investigaciones realizadas en el marco del EOS (Godino &

Batanero, 1994; Font & Godino, 2006; Godino, Contreras & Font, 2006; Godi-

no, Font & Wilhelmi, 2006; Godino, Font, Wilhelmi & Castro, 2007; Godino,

Bencomo, Font & Wilhelmi,), se 2006 han propuesto cinco niveles o tipos de

análisis aplicables a un proceso de estudio matemático (ya planificado o bien

ya implementado). El primero corresponde a las prácticas matemáticas (ope-

rativas y discursivas). En el EOS, la actividad de resolución de problemas es la

actividad central en la construcción del conocimiento matemático. Se consi-

deran los significados institucionales (referencial, pretendido, implementado

y evaluado) y los significados personales (global, declarado y logrado). En la

realización de las prácticas matemáticas, intervienen y emergen objetos de di-

versos tipos, de acuerdo con la función que desempeñan en dichas prácticas.

Todos los objetos están interconectados entre sí mediante funciones semióticas

referenciales y operacionales, a partir de lo cual se forman configuraciones on-

tosemióticas de prácticas, objetos y procesos.

El segundo nivel corresponde a la configuración de objetos y procesos

matemáticos emergentes e intervinientes en las prácticas matemáticas. En este

caso, el EOS propone una tipología de objetos primarios emergentes de las

prácticas matemáticas: situaciones-problema, elementos lingüísticos, concep-

tos, propiedades, procedimientos y argumentos. Estos seis tipos de objetos se

relacionan entre sí y forman configuraciones que se definen como las redes de

objetos intervinientes y emergentes de los sistemas de prácticas, y las relaciones

que se establecen entre los mismos. Las configuraciones pueden ser epistémi-

cas (redes de objetos institucionales) o cognitivas (redes de objetos persona-

les), y se construyen a partir del planteamiento y resolución de una situación

problema. Estos seis tipos de objetos primarios se complementan y enriquecen

mediante cinco facetas o dimensiones duales: personal e institucional, ostensi-

va y no ostensiva, ejemplar y tipo, elemental y sistémica, y expresión y conteni-

I 175

do. La emergencia de los objetos primarios tiene lugar mediante los respectivos

teresa oviedo

procesos matemáticos de comunicación, problematización, definición, enun-

ciación, elaboración de procedimientos y argumentación. Además, las dimen-

siones duales dan lugar a los siguientes procesos cognitivos/epistémicos:

•

Institucionalización-personalización,

•

Generalización-particularización,

•

Análisis/descomposición-síntesis/reificación,

•

Materialización/concreción-idealización/abstracción

•

Expresión/representación-significación.

En el tercer nivel, se encuentran la configuración didáctica y las trayec-

torias didácticas. Las configuraciones didácticas y su articulación en trayecto-

rias didácticas están condicionadas y soportadas por una compleja trama de

normas y metanormas (D’Amore & Godino, 2007) que regulan la dimensión

epistémica de los procesos de estudio (primer y segundo nivel de análisis) y

regulan otras dimensiones de los procesos de estudio (cognitiva, afectiva, etc.).

Desde el cuarto nivel, que corresponde a la identificación de normas y

metanormas, se regulan la dimensión epistémica de los procesos de instruc-

ción (niveles 1 y 2) y también otras dimensiones de estos procesos (cognitiva,

afectiva, etc.). Finalmente, el quinto nivel, sobre la valoración de la idoneidad

didáctica, consiste en un criterio general de adecuación y pertinencia de las ac-

ciones de los agentes educativos, de los conocimientos puestos en juego y de los

recursos usados en un proceso de estudio matemático. El sistema de indicado-

res empíricos identificados en cada una de las facetas constituye una guía para

el análisis y reflexión sistemática que aporta criterios para la mejora progresi-

va de los procesos de enseñanza y aprendizaje. Para determinar la idoneidad

didáctica, se deben articular coherente y sistemáticamente seis componentes:

idoneidad epistémica, idoneidad cognitiva, idoneidad interaccional, idoneidad

mediacional, idoneidad afectiva e idoneidad ecológica.

A continuación, en el gráfico 1, se presenta los objetos y procesos que

intervienen en las prácticas matemáticas.

176

propuesta de análisis de la metodología de clases matemáticas universitarias

Gráfico 1. Objetos y procesos que intervienen en las prácticas matemáticas

Fuente: Godino (2014, p. 23)

El modelo CDM explicita el vínculo y la interacción entre las seis face-

tas implicadas en los procesos de enseñanza y aprendizaje de las matemáti-

cas -epistémica, cognitiva, afectiva, interaccional, mediacional y ecológica, las

cuales serán detalladas más adelante-. En general, el modelo CDM presenta

tres dimensiones: dimensión matemática, dimensión didáctica y dimensión

metadidáctica matemática.

La primera propone tres categorías globales del conocimiento sobre el

contenido matemático: conocimiento común del contenido, conocimiento

avanzado del contenido y conocimiento especializado. La primera categoría

remite a los conocimientos matemáticos no necesariamente orientados a la en-

señanza, que el profesor debe poner en juego para resolver situaciones proble-

máticas en relación con un tema de matemáticas de un nivel educativo concre-

to en el que se enmarca la situación problema. Dicho conocimiento se analiza

a través de la faceta epistémica. La segunda categoría -conocimiento avanzado

del contenido- refiere a un conocimiento matemático que supone que el profe-

sor, además de saber resolver situaciones problemáticas sobre un determinado

tema y nivel, debe poseer conocimientos más avanzados que los previstos en el

currículo. Ello se analiza a través de la faceta epistémica. Finalmente, el cono-

cimiento especializado consiste en un conocimiento que diferencia al profesor

I 177

de otras personas que saben matemáticas. Además de implicar conocimiento

teresa oviedo

común y parte del conocimiento avanzado, «debe incluir la pluralidad de sig-

nificados del objeto, la diversidad de configuraciones de objetos y procesos

inherentes a tales significados y las necesarias articulaciones inherentes entre

los mismos» (Pino-Fan, Godino & Font, 2013, p. 6). Este conocimiento es in-

terpretado desde la faceta epistémica e incluye cuatro subcategorías: conoci-

miento del contenido especializado, conocimiento del contenido en relación

con los estudiantes, conocimiento del contenido en relación con la enseñanza,

y conocimiento del contenido en relación con el currículo. Para el análisis de

estas categorías, se emplean herramientas teóricas del EOS.

La dimensión didáctica del modelo CDM comprende las seis facetas antes

mencionadas:

•

Faceta epistémica: conocimiento especializado de la dimensión

matemática

•

Faceta cognitiva: conocimiento sobre los aspectos cognitivos de los

estudiantes

•

Faceta afectiva: conocimiento sobre los aspectos afectivos, emocionales y

actitudinales de los estudiantes

•

Faceta interaccional: conocimiento sobre las interacciones que se suscitan

en el aula

•

Faceta mediacional: conocimiento sobre los recursos y medios que pueden

potenciar los aprendizajes de los estudiantes

•

Faceta ecológica: conocimiento sobre los aspectos curriculares,

contextuales, sociales, políticos, económicos, etc., que influyen en la

gestión de los aprendizajes de los estudiantes

En el gráfico 2, se muestra las dimensiones y componentes del modelo del

conocimiento didáctico-matemático.

178

propuesta de análisis de la metodología de clases matemáticas universitarias

Gráfico 2. Dimensiones y componentes del modelo

del conocimiento didáctico-matemático (CDM)

Fuente: Pino-Fan y Godino (2015, p. 103).

3. Metodología

La metodología que se utilizó fue de carácter cualitativo, correspondiente a un

estudio de caso. Se realizó la descripción y análisis de la clase de un profesor

en el tema de funciones matemáticas. Se analizaron las dos primeras clases

(220 minutos) de funciones matemáticas de un curso de Matemática que dictó

un docente de una institución universitaria en el lapso de 2 horas cada clase

(con 60 alumnos matriculados en un curso de Matemática de primer semestre

académico).

Se recogieron los datos a través de videos que realizó la investigadora

para registrar las clases del docente muestra de estudio. Se aplicó la técnica de

observación no participativa y se llevó a cabo el análisis de contenido de las

transcripciones de los videos de las clases del docente. Previamente, para poder

hacer la filmación de las clases del docente, se pidió permiso a la autoridad co-

rrespondiente de la institución en que se realizó esta investigación, así como al

docente en estudio, aclarando los fines académicos de esta investigación tanto

por escrito como oralmente. De este modo, se obtuvo el consentimiento para

la filmación de las clases. A su vez, el docente del curso informó a los alumnos

que las clases iban a ser filmadas para una investigación académica.

I 179

teresa oviedo

En este estudio, se consideran las dos primeras clases del docente, que

fueron transcritas y posteriormente analizadas de acuerdo con el «modelo del

conocimiento didáctico-matemático», que se basa en las herramientas teórico-

metodológicas del enfoque ontosemiótico (EOS) del conocimiento y la ins-

trucción matemática. Es decir, a partir de las categorías que propone el mode-

lo CDM y con la aplicación de las herramientas que proporciona el EOS, fue

posible analizar, interpretar y caracterizar los conocimientos del profesor de

matemática, muestra de estudio. Ello comprende la promoción de su conoci-

miento común, ampliado y especializado en la resolución de tareas mediante

distintos procedimientos, en la movilización de diversas representaciones, en

la vinculación de objetos matemáticos y que integren el significado holístico

para dicho objeto (Pino-Fan, Godino & Font, 2011), es decir, que se integre los

diferentes significados parciales de las funciones.

Cabe anotar que, en esta investigación, se analizaron las facetas episté-

mica, interaccional y mediacional del docente de la dimensión didáctica del

modelo CDM, aplicando tres de los niveles del EOS (como se mencionó ante-

riormente en la parte introductoria). Se realizó la aplicación de este modelo en

la determinación de la metodología de la clase del docente muestra de estudio.

Para ello, se diseñó un instrumento de análisis de la información basado en

los criterios de idoneidad didáctica de los indicadores de idoneidad (Godino,

2013).

4. Resultados

A continuación, se presentan los resultados del significado de función que el

docente utiliza en su práctica matemática (primer nivel del EOS), así como

los resultados de los análisis en la dimensión matemática (faceta epistémica,

en la que se aplican el segundo y quinto nivel del EOS) y del análisis de la

dimensión didáctica (faceta interaccional y mediacional). Se debe considerar

que esto se realiza de acuerdo con las transcripciones de video de las clases

del docente.

Para empezar, se exponen los resultados de los análisis de las dos clases

observadas del docente con respecto a funciones lineales y funciones cuadrá-

ticas (dominio, rango, gráficas, diferencia entre las funciones). Para la dimen-

sión matemática en la faceta epistémica, y para la dimensión didáctica en las

facetas interaccional y mediacional, los resultados se muestran en correspon-

dencia con la numeración de los indicadores de los anexos 2, 3 y 4.

4.1

Resultados de la dimensión matemática en el sistema de prácticas

matemáticas (primer nivel del EOS)

El docente aplica cinco de los seis significados holísticos de referencia de la

función mencionados en Parra (2015). Sobre esa base, se puede considerar

180

propuesta de análisis de la metodología de clases matemáticas universitarias

idoneidad en cuanto a los significados³ de la función en los sistemas de prácticas

que utiliza en su clase. A partir de estos significados, de acuerdo con los análisis

de las clases del docente, se puede dar cuenta del significado personal del

docente, es decir, del significado de la función que utiliza el docente en su clase,

y que ha sido tomado como referencia de los libros de texto que se le ha sido

asignado o de los libros que él mismo considera para sus sesiones.

A continuación, se detallan aquellos significados personales que el docen-

te que utilizó en sus clases de función:

•

La función como correspondencia: Tiene sus raíces en el desarrollo del con-

cepto de número «[…] En este sentido se entenderá por correspondencia a

aquello que asocia elementos entre dos conjuntos» (Parra, 2015, p. 56).

•

La función como representación gráfica: Esta acepción surge de la inten-

ción de representar la relación de variabilidad entre magnitudes físicas

por medio de gráficas. «[…] Por otro lado, la idea de función como curva

es parte del significado de función como expresión gráfica» (Parra, 2015,

p. 57).

•

La función como expresión analítica: «[…] Euler apoyado en las nociones

de su maestro Bernoulli, propone la siguiente definición de función: Una

función de una cantidad variable es una expresión analítica compuesta

de cualquier forma que sea, de esta cantidad y de números o cantidades

constantes» (Parra, 2015, p. 58).

•

La función como correspondencia arbitraria:

[…] Esta acepción de la función es definida ampliamente por Dirichlet

(1837), quien la enuncia de la siguiente manera: Si una variable y está

relacionada con otra variable x de tal manera que se atribuya un valor

numérico a x hay una regla según la cual queda determinado un único

valor de y, entonces se dice que y es una función de la variable dependiente

x (Parra, 2015, p. 59).

•

La función a partir de la teoría de conjuntos:

[…] La influencia que dicha teoría posee sobre la noción de función,

permite establecer la definición formal del objeto matemático función:

Sean X e Y dos conjuntos no vacíos. Una función ƒ definida en un con-

junto X y con valores en Y es una ley mediante la cual se hace corres-

ponder a cada elemento de X un elemento de Y. Se dice también que ƒ es

una aplicación de X en Y. Para un elemento genérico x є X denotaremos

habitualmente por ƒ(x) el elemento Y correspondiente a ese x, y se dirá

Según el EOS, los significados pueden ser institucionales o personales. El significado

de un objeto personal es el sistema de prácticas personales de un individuo para

I 181

resolver el campo de problemas del que emerge un objeto en un momento dado.

teresa oviedo

también que ƒ(x) es el valor de la función ƒ en x, esto se expresa a veces

mediante la igualdad y = ƒ(x) (Parra, 2015, p. 59).

De acuerdo con los significados de función utilizados por el docente, se

puede considerar que este tiene una idoneidad alta en la dimensión matemáti-

ca con respecto a los significados personales de función.

4.2

Resultados de la dimensión matemática en la faceta epistémica

En el análisis epistémico, se identificaron los objetos primarios utilizados del

EOS (elementos lingüísticos, conceptos, procedimientos, propiedades y argu-

mentos) en la explicación de la resolución de ejercicios planteados por el do-

cente muestra de estudio. En un análisis anterior⁴, se realizó la construcción

del significado de referencia para las funciones para poder realizar la identifi-

cación de los conocimientos didácticos matemáticos en esta faceta epistémica.

A continuación, se presentan los resultados del análisis según los compo-

nentes y los indicadores de la idoneidad epistémica de las funciones -expues-

tos en el anexo 2-, que están basados en los componentes e indicadores de la

idoneidad epistémica (Godino, 2011) planteados en el anexo 1.

Conocimiento común

El docente identifica los conocimientos básicos referidos a las funciones,

además de que realiza su presentación formal de acuerdo con el significa-

do epistémico, utilizando cinco significados para las funciones de los seis

significados holísticos de las funciones (Parra, 2015).

Conocimiento especializado

a. Situaciones-problemas

Las situaciones que propone el docente se restringen a ejercicios de fun-

ciones en el contexto matemático, es decir, sin otra contextualización. Sin

embargo, para la explicación introductoria del tema, hizo referencia a si-

tuaciones relacionadas con un contexto extra-matemático.

2.1. El docente, durante las dos horas de clase, planteó ejercicios en con-

texto gráfico. Se observó que realizó los procesos de simbolización; repre-

sentación; y, de lo particular, estableció una generalización.

Dicho análisis se enfocó en los significados de referencia de las funciones identifica-

dos en los libros de texto usados por el docente en su clase. Estos no se muestran en

esta investigación, debido a que se trata de un análisis bastante amplio, que es parte

182

de la investigación de mi tesis de doctorado, la cual sigue en proceso.

propuesta de análisis de la metodología de clases matemáticas universitarias

2.2. El docente, durante las dos horas de clase, propuso ejercicios en con-

texto algebraico. Se registró que llevó a cabo los procesos de simboliza-

ción; representación; y, de lo particular, planteó una generalización.

2.3. El docente combinó el contexto gráfico y el analítico durante las

dos horas de clase. Los procesos que realizó son los mencionados

anteriormente.

El docente propuso situaciones contextualizadas en la parte introductoria

del tema de funciones, es decir, al inicio de su primera clase, para llegar a

un concepto determinado con respecto a las funciones. No obstante, no

presentó situaciones específicas de generación de problemas en la parte

introductoria de la clase ni durante el resto de la clase. Luego de la parte

introductoria del tema, explicó los significados de los objetos relacionados

con al tema de funciones, mediante ejercicios sin contextualización.

El docente explicó las situaciones contextualizadas conforme al nivel de

los estudiantes. En la medida que sus estudiantes se encuentran en el pri-

mer semestre académico, les hizo recordar las funciones de manera senci-

lla, con temas de funciones que se imparten en el colegio. Sobre esa base,

luego, amplió su explicación en términos matemáticos más formales. Por

ejemplo, anotó la diferencia entre función afín y función lineal (general-

mente, los estudiantes recién egresados de la escuela secundaria no toman

en cuenta esta diferencia).

b. Elementos lingüísticos

El docente utilizó distintos modos de expresión, con excepción de la tabu-

lación. Partiendo de Duval (2014), podemos afirmar que solo realizó tra-

tamientos, es decir, representaciones de las funciones dentro de un mismo

registro.

El docente usó el lenguaje propio de las matemáticas que explicó. Esto se

puede constatar con el significado de referencia - que se compara con el

lenguaje usado por el docente⁵.

c. Elementos regulativos (Definiciones, proposiciones, procedimientos)

El docente desempeña el rol de ser quien asume la institucionalización en la

explicación de los temas tratados en clase con respecto a las funciones y no

negocia estos significados con los estudiantes. Es decir, no promueve la par-

ticipación de los estudiantes en la interpretación de las funciones, aunque sí

incentiva a que los estudiantes se expresen durante la explicación de los te-

mas, haciéndolos participar de lo que está explicando. En esa línea, el docente

presenta los enunciados y los procedimientos básicos de las funciones linea-

Este no se muestra en este artículo, debido a que forma parte de la investigación en

I 183

curso de mi tesis de doctorado.

teresa oviedo

les y cuadráticas haciendo fluir el entendimiento de los estudiantes que están

recordando el tema, pues son estudiantes recién egresados de la educación se-

cundaria. Dentro de esa dinámica, el docente no aplicó el modo de expresión

tabular, no interpretó los resultados obtenidos luego de realizar las represen-

taciones, ya sean mediante la regla de correspondencia o a través de la gráfica.

En general, la explicación de la clase del docente es adecuadamente es-

tructurada y ordenada. Asimismo, utiliza el lenguaje propio del significado

epistémico de las funciones. Sus procedimientos, en los ejercicios desarrolla-

dos, están centrados en lo algebraico-algorítmico. En relación con ello, se debe

precisar que no realizó problemas, solo ejercicios. Con respecto a la interpreta-

ción de los resultados en la resolución de ejercicios, el docente se limitó a dar

la explicación de manera formal de los resultados obtenidos.

d. Argumentos

Al abordar las funciones cuadráticas, el docente pudo haber explicado

más detalladamente la ubicación de los pares ordenados en el plano car-

tesiano. En la medida que no utilizó el lenguaje tabular, no realizó dicha

explicación. En cuanto a los modos de expresión (verbal, gráfico, simbóli-

co) del docente en el procedimiento de resolución de ejercicios, utilizó la

formalización clara y detallada acorde con los significados epistémicos de

la función.

El docente, en general, institucionaliza los significados de las funciones

haciendo participar a los estudiantes, pero para que lleguen a lo que él ha

planteado.

En general, en la idoneidad epistémica del docente, los objetos y procesos

del EOS que utilizó fueron bien estructurados, de manera que detallaron la

formalización de los significados de los objetos matemáticos de la función. Los

procesos empleados correspondieron a la simbolización, la representación, la

particularización, la generalización y la algoritmización, según los siguientes

objetos: lenguajes, proposiciones, procedimientos, argumentos y conceptos.

Además, realizó el proceso de tratamiento de expresiones simbólicas.

Conocimiento ampliado

Relaciones (conexiones, significados)

El docente realiza tratamientos, pero no institucionaliza la importancia de

estos; es decir, en este caso, no relaciona ni articula de manera significativa

los objetos matemáticos.

184

propuesta de análisis de la metodología de clases matemáticas universitarias

4.3

Resultados de la dimensión didáctica en la faceta interaccional

A continuación, se presenta los resultados del análisis de acuerdo con los com-

ponentes e indicadores de la idoneidad interaccional (Godino, 2014) dados en

el anexo 3.

Interacción entre los alumnos

10. El docente, al finalizar aproximadamente una hora de clase, dio un tiempo

aproximado de diez minutos para que los estudiantes conversen, consul-

ten entre sí y también le consulten a él. De este modo, favoreció el diálogo

entre los alumnos.

11. Como los estudiantes que se sentaron en las primeras filas son general-

mente los que participan en clase, cuando el docente plantea preguntas,

hace que participen también aquellos que se encuentran sentados en las

últimas filas llamándolos por su nombre.

Autonomía

12. Después de aproximadamente una hora de clase, el docente brindó unos

diez minutos para que los estudiantes, desde sus carpetas, lo llamen para

hacerle consultas; él fue explicando conforme lo llamaban. En paralelo, los

alumnos podían consultarse entre sí. Cabe anotar que, en esa dinámica, el

docente no dio nuevos ejemplos o contraejemplos para que los estudian-

tes exploren o presenten soluciones, sino que el tiempo que otorgó para

que pregunten o se consulten entre ellos se orientó a los objetos matemá-

ticos explicados en la clase.

Evaluación formativa

13. En este caso, se puede intuir que el docente aprecia cómo los estudiantes

van entendiendo el tema. Aclara sus dudas, mientras que las consultas

frecuentes las aclara en la pizarra para que las puedan entender todos los

estudiantes.

Interacción docente-discente

14. El docente tuvo empatía con los estudiantes. Como este tema de funciones

se desarrolló casi al final del semestre académico, él ya sabía los nombres

de los estudiantes. Además, tuvo una actitud jovial y hacía reír a sus estu-

diantes de forma espontánea, según cómo iba avanzando la clase. A partir

de ello, los estudiantes tenían confianza al responder a las preguntas plan-

teadas por el docente durante su sesión.

I 185

teresa oviedo

De 60 matriculados, asistieron aproximadamente 50 alumnos a las 2 cla-

ses. Eran pocos los alumnos que participaban cuando el docente elabora-

ba una pregunta mientras explicaba el tema. Generalmente, participaban

aquellos estudiantes que estaban sentados en las tres primeras filas de car-

petas. Sin embargo, el docente trataba de incluir a los alumnos que se sen-

taban en las filas lejanas de la pizarra, dirigiéndose a estos por su nombre.

En general, el docente logró que sus alumnos participaran a través de

preguntas dirigidas a todos o algunos en particular. En ese contexto, el

docente es el resolutor y el expositor en toda la clase, mientras que sus

estudiantes se limitan a responder cuando la pregunta va dirigida a ellos.

En lo que respecta a las preguntas que hizo el docente, en general, estas

se enfocaron en el tipo de funciones, el dominio y su gráfica. Como parte

de la explicación, el docente mostró las diferencias entre las funciones de

forma algebraica y, también, de manera gráfica.

4.4

Resultados de la dimensión didáctica en la faceta mediacional

A continuación, se presenta los resultados del análisis de acuerdo con los com-

ponentes y los indicadores de la idoneidad mediacional (Godino, 2011) plan-

teados en el anexo 4.

Recursos materiales

15. Los materiales que utilizó el docente fueron el libro de texto y la pizarra.

En ese sentido, se constata la falta de recursos mediacionales en la imple-

mentación de la clase; no se favorece la utilización de recursos digitales.

Por ejemplo, habría sido motivador y preciso detallar, en determinados

momentos de la clase, las gráficas de las funciones con software libres que

se ofrecen en la red.

Distribución del tiempo

16. El tiempo de clase está bien establecido, a partir de lo cual las explicacio-

nes de todos los objetos matemáticos mencionados en clase llegan a buen

término. El tiempo estuvo estructurado de la siguiente forma:

•

Tiempo para la introducción

•

Tiempo para la definición de conceptos y, a la vez, de ejercicios

•

Tiempo en que realiza una síntesis del tema

•

Tiempo para que los estudiantes resuelvan sus dudas

•

Tiempo al final de la clase para que los alumnos se acerquen al docente a

consultarle sus dudas

186

propuesta de análisis de la metodología de clases matemáticas universitarias

Número de alumnos, horario y condiciones del aula

17. La clase está compuesta por un número significativo de estudiantes: apro-

ximadamente, 60 estudiantes para un aula relativamente amplia. En cuan-

to al horario, parece adecuado, en la medida que la clase se dicta durante

las primeras horas de la tarde. Asimismo, las condiciones del aula son fa-

vorables: buena iluminación, cortinas oscuras y claras para el manejo del

ambiente del aula⁶, proyector, escritorio para el docente con computadora

incorporada, carpetas distribuidas por siete filas y dos columnas, de modo

que en cada fila se podían sentar cuatro estudiantes.

De acuerdo con todos los resultados vistos anteriormente se muestra, en

síntesis, la idoneidad epistémica, interaccional y mediacional del conocimiento

matemático y didáctico del docente en los anexos 5, 6 y 7.

5. Conclusiones

A partir de los resultados de los componentes y los indicadores del conoci-

miento matemático y didáctico del docente, presentados en la sección anterior

y sintetizados en los anexos 5, 6 y 7, se puede afirmar que el conocimiento

matemático del docente fue mayor que su conocimiento didáctico. Asimismo,

el conocimiento matemático y didáctico del docente fue medio.

En cuanto a la idoneidad matemática en la faceta epistémica del docente,

se observó que, en las explicaciones del docente, faltó detallar las diferencias

entre las funciones y argumentar los resultados de los ejercicios. Puesto que el

tema de funciones es de gran importancia en la formación académica de los

estudiantes, y dado que los mismos tienen muchas dificultades en cuanto a su

significado y representación, tendría que ser fundamental hacer una clase con

todos los detalles de las funciones para contribuir con un mejor entendimiento

por parte de los estudiantes.

En lo que respecta a la idoneidad didáctica interaccional del docente, se

puede indicar que se requiere que el docente trate de involucrar más a los estu-

diantes en su aprendizaje, que ellos sean los que llegan a una solución o afirma-

ción por sí mismos. En esa dinámica, el rol del docente sería el de un mediador,

que institucionalice los significados de las funciones una vez que haya habido

discusión y participación por parte de los estudiantes. Para ello, se requeriría

que, en la explicación de los temas, se planteen situaciones problemáticas que

ayuden a definir los conceptos, a entender los procesos y a interpretar los resul-

tados. Estas situaciones se tendrían que articular de modo que los estudiantes

aprendan de manera significativa los lenguajes, las reglas, los argumentos, lo

Con estas cortinas, en caso se proyectara algo en pizarra, se podía oscurecer el am-

biente y, en caso se quisiera tener abiertas las ventanas sin que entrase el viento, se

I 187

podía mantener las cortinas claras para que taparan las ventanas.

teresa oviedo

cual tendría que ser análogo para los ejercicios presentados por el docente.

En relación con la idoneidad didáctica mediacional del docente, se puede

afirmar que el docente tendría que contar con mayor variedad de estrategias y

recursos didácticos que facilite un protagonismo de los estudiantes en la cons-

trucción de sus conocimientos, que permita una confrontación entre los es-

tudiantes y los conocimientos recibidos para que haya una mayor interacción

entre los mismos estudiantes, y entre estos y el docente. Asimismo, se sugiere

el uso de tecnología en sus clases como un medio -por ejemplo- para notar las

diferencias entre los tipos de funciones, los dominios, los rangos, y entre las

gráficas y las funciones.

Para caracterizar los conocimientos matemáticos y didácticos que utili-

za este docente en su metodología de clase, al abordar el tema de función, se

tendría que triangular la información que nos da el análisis de las clases del

docente con entrevistas, que es parte de una investigación más amplia (que

está en curso). Considerando todas las clases que el docente dictó sobre el tema

de las funciones (no solo dos de sus clases), y realizando todos los análisis con

todas las dimensiones del CDM y los niveles mencionados del EOS, se podría

caracterizar el conocimiento didáctico y matemático del docente. Esto forma

parte de una investigación más amplia, que -como ya se ha señalado- está en

proceso.

En este artículo, se ha pretendido mostrar el modelo del conocimiento

didáctico-matemático como una alternativa de análisis para las clases de ma-

temática a nivel universitario con el fin de ayudar, según se requiera, a realizar

modificaciones dentro de la práctica docente, cualquiera sea la metodología

que se aplique en clases. En el análisis de dichas clases, mediante la aplicación

de 3 de los 5 niveles del EOS (nivel 1: sistema de prácticas matemáticas; nivel 2:

configuración de objetos y procesos; y nivel 5: la idoneidad didáctica) se pudo

describir «¿qué ha ocurrido aquí?» y valorar «¿qué se podría mejorar?».

Con la aplicación del modelo CDM, en el análisis de las transcripciones

de clase, se pudo observar que la metodología del docente muestra de estudio

corresponde al de una clase magistral: él es quien despliega el mayor esfuerzo

por hacer que los estudiantes entiendan el tema de clase, mientras que la re-

ceptividad le compete al estudiante. En este marco, la técnica que utiliza es el

dar ejemplos y plantear ejercicios. A través de este modelo, se pudo apreciar ca-

racterísticas de los docentes que conducen a una reflexión en torno a la mejora

en las estrategias y las acciones que debería tomar el docente en su actividad

de enseñanza. A partir de ello, se plantea que los docentes deberían tener una

competencia en análisis de sus propias prácticas. En esa línea, se puede apre-

ciar la gran utilidad del modelo CDM, que permite un análisis pormenorizado

de los conocimientos del docente; y, de este modo, poder dar pautas de mejora

en el proceso de enseñanza-aprendizaje en temas en general de matemáticas.

Se pone de manifiesto la importancia de fomentar la reflexión del docente

en su propia práctica, teniendo en cuenta que existen varios modelos de cono-

188

cimiento matemático y didáctico que pueden ayudar a mejorar la enseñanza

propuesta de análisis de la metodología de clases matemáticas universitarias

de los distintos tópicos de matemática (mencionados en la introducción de esta

investigación). Además, cabe anotar que existen varias investigaciones actuales

con respecto al conocimiento matemático y didáctico de los docentes, tales

como Medrano (2016) y otros.

Esta actividad de análisis sobre la propia práctica de los docentes univer-

sitarios de matemáticas es un reto que requiere del desarrollo de la competen-

cia de análisis didáctico. Sobre esta, hay investigaciones, como Godino, Rivas,

Castro y Konic (2012), que señalan que el profesor de educación primaria y

secundaria debe presentar un cierto nivel de competencia para este tipo de

análisis.

En general, los profesores pueden evaluar y caracterizar su conocimiento

didáctico y matemático aplicando el modelo CDM como en el caso estudiado

del docente, es decir, aplicar el modelo CDM en el análisis de la metodología

de sus clases para así conocer las dificultades, carencias didáctico-matemáticas

de la enseñanza de temas específicos de matemática, así como fortalecer su

enseñanza.

La limitación de esta investigación reside en que solo se muestra los re-

sultados de dos de las tres dimensiones del modelo CDM: dimensión mate-

mática y dimensión didáctica. De la dimensión didáctica, solo se exponen los

resultados de tres de las seis facetas del modelo: epistémica, interaccional y

mediacional. Para el análisis de la metodología de clases del docente en estu-

dio, se requeriría aplicar el modelo CDM con todas sus dimensiones y facetas

(mencionadas en el marco teórico de esta investigación). Asimismo, se tendría

que realizar entrevista(s) al docente muestra de estudio para complementar y

contrastar lo analizado en los videos de sus clases, y así poder tener un análisis

más preciso de la metodología que aplica en ellas.

Nota biográfica

Teresa Sofía Oviedo Millones

Es doctoranda en Ciencias de la Educación de la Pontificia Universidad Ca-

tólica del Perú (PUCP) y magister en Enseñanza de las Matemáticas por la

PUCP. Docente de Posgrado del Departamento Académico de Educación de

la PUCP. Además, es miembro del Grupo de Investigación: Educación y Tec-

nología (EDUTEC) del departamento académico de Educación de la PUCP y

miembro de la Asociación Peruana de Investigación en Educación Matemática

(APINEMA). Sus investigaciones y publicaciones se vinculan con la línea de

investigación del área de Gestión de la Educación (nivel superior): Formación,

evaluación y desarrollo profesional de docentes y con la línea de formación de

profesores de Matemática (nivel superior).

I 189

teresa oviedo

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192

propuesta de análisis de la metodología de clases matemáticas universitarias

Anexos

Anexo 1. Componentes e indicadores de la idoneidad epistémica

(matemática)

Componentes

Indicadores

Conocimiento común

Resuelve la tarea.

Conocimiento especializado

Elabora la configuración de objetos y procesos

puestos en juego en las soluciones plausibles de

la tarea y otras relacionadas.

Situaciones-problemas

Selecciona una muestra representativa y

articulada de situaciones de contextualización,

ejercitación y aplicación.

Propone situaciones de generación de

problemas (problematización).

La situación planteada corresponde al nivel

educativo de los estudiantes.

Elementos lingüísticos

Usa diferentes modos de expresión (verbal,

gráfico, simbólico, etc.), traducciones y

conversiones entre los mismos.

El nivel del lenguaje es adecuado para el nivel al

que se dirige.

Promueve la expresión e interpretación.

Elementos regulativos (definiciones,

Las definiciones y los procedimientos son claros

proposiciones, procedimientos)

y correctamente enunciados, adaptados al nivel

educativo a que se dirige.

Presenta los enunciados y procedimientos

básicos del tema.

Argumentos

Promueve la generación y negociación de las

definiciones y de los procedimientos.

Adecúa las explicaciones, las comprobaciones y

las demostraciones al nivel educativo al que se

dirige.

Promueve momentos de generación y

negociación de argumentos, de validación.

Conocimiento ampliado:

Relaciona y articula de manera significativa

• Relaciones (conexiones,

los objetos matemáticos puestos en juego

significados)

(situaciones, lenguaje, reglas, argumentos) y las

distintas configuraciones en que se organizan.

Fuente: Godino (2009, 2011).

I 193

teresa oviedo

Anexo 2. Componentes e indicadores de la idoneidad epistémica

de las funciones (matemática)

Componentes

Indicadores

Conocimiento común

1. Identifica los conocimientos básicos referidos a los objetos

matemáticos involucrados en las funciones y los explica de

manera formal.

Conocimiento

Elabora la configuración de objetos y procesos puestos

especializado

en juego en las soluciones plausibles de la tarea y otras

relacionadas:

• Situaciones-problemas

2. Selecciona una muestra representativa y articulada de

situaciones de contextualización, ejercitación y aplicación:

2.1. Problemas o ejercicios en contexto gráfico

2.2. Problemas o ejercicios en contexto analítico

2.3. Problemas o ejercicios que articulan los contextos

gráficos y analíticos

3. Propone situaciones de generación de problemas

(problematización).

4. La situación planteada corresponde al nivel educativo de los

estudiantes.

• Elementos lingüísticos

5. Usa diferentes modos de expresión (verbal, gráfico, simbólico,

etc.), tratamientos y conversiones entre los mismos.

6. El nivel del lenguaje es adecuado para el nivel al que se dirige.

7. Promueve la expresión e interpretación de las funciones:

• Presenta los enunciados y procedimientos básicos de las

funciones lineales y cuadráticas.

• Elementos regulativos

• Brinda las definiciones de las funciones mediante su

(definiciones,

regla de correspondencia.

proposiciones,

• Muestra la representación gráfica de las funciones

procedimientos)

lineales y cuadráticas mediante su regla de

correspondencia ubicando los pares ordenados en el

plano correspondiente a dicha función.

• Identifica las funciones lineales y cuadráticas en el plano

de coordenadas rectangulares, y muestra sus diferencias.

• Elabora la representación algebraica de la función lineal

y de la función afín, y muestra sus diferencias.

• Interpreta los resultados obtenidos luego de la

resolución de problemas o ejercicios que involucran las

funciones lineales y cuadráticas.

•Argumentos

8. Justifica con rigor su procedimiento en la resolución de

problemas y ejercicios de funciones lineales y cuadráticas.

9. Promueve momentos de generación y negociación de

argumentos, de validación.

Conocimiento ampliado:

10. Relaciona y articula de manera significativa los objetos

• Relaciones (conexiones,

matemáticos puestos en juego (situaciones, lenguaje,

significados)

reglas, argumentos) y las distintas configuraciones en que

se organizan.

194

Fuente: Godino (2011). Elaboración propia.

propuesta de análisis de la metodología de clases matemáticas universitarias

Anexo 3. Componentes e indicadores de la idoneidad

interaccional

Componentes

Indicadores

Interacción entre los alumnos

11. Favorece el diálogo entre los estudiantes.

12. Favorece la inclusión en el grupo y se evita la

exclusión.

Autonomía

13. Contempla momentos en que los estudiantes asu-

men la responsabilidad del estudio (plantea cues-

tionarios y presenta soluciones, explora ejemplos y

contraejemplos para investigar y conjeturar).

Evaluación formativa

14. Observa sistemáticamente el progreso cognitivo de

los alumnos.

Interacción docente-discente

15. Utiliza diferentes recursos y argumentos en la expli-

cación de la clase que propicia la interacción entre

el docente y los estudiantes.

Fuente: Godino (2011)

Anexo 4. Componentes e indicadores de la idoneidad

mediacional

Componentes

Indicadores

Recursos materiales

16. Utiliza materiales físicos y virtuales apropiados en

la explicación de clase.

Distribución del tiempo

17. El tiempo previsto es suficiente para realizar las ac-

tividades de comprensión de la clase.

Número de alumnos, horario y

18. La distribución de los estudiantes, el horario y las

condiciones del aula

condiciones del aula son apropiados.

Fuente: Godino (2011)

I 195

teresa oviedo

Anexo 5. Componentes e indicadores de la idoneidad epistémica

de las funciones (matemática)

Componentes

Indicadores

Características

Conocimiento común

1. Identifica los conocimientos básicos

Sí

referidos a los objetos matemáticos

involucrados en las funciones y los

explica de manera formal.

Conocimiento

Elabora la configuración de objetos y

especializado

procesos puestos en juego en las soluciones

plausibles de la tarea y otras relacionadas:

• Situaciones-

2. Selecciona una muestra representativa

Sí

problemas

y articulada de situaciones de contex-

tualización, ejercitación y aplicación:

2.1 Problemas o ejercicios en contexto

Sí

gráfico

Sí

2.2 Problemas o ejercicios en contexto

analítico

Sí

2.3 Problemas o ejercicios que articulan

los contextos gráficos y analíticos

3. Propone situaciones de generación de

problemas (problematización).

Sí

4. La situación planteada corresponde al nivel

educativo de los estudiantes.

• Elementos

5. Usa diferentes modos de expresión (verbal,

Sí (con excepción

lingüísticos

gráfico, simbólico, etc.), tratamientos y

de la expresión

conversiones entre los mismos.

tabular)

6. El nivel del lenguaje es adecuado para el

Sí

nivel al que se dirige.

• Elementos regulativos

7. Promueve la expresión e interpretación de

(Definiciones,

las funciones:

proposiciones,

• Presenta los enunciados y proce-

Sí

procedimientos)

dimientos básicos de las funciones

lineales y cuadráticas.

• Da las definiciones de las funciones

Sí

mediante su regla de correspondencia.

• Muestra la representación gráfica de

Sí

las funciones lineales y cuadráticas

mediante su regla de correspondencia

ubicando los pares ordenados en el

plano correspondientes a dicha función.

• Identifica las funciones lineales y cua-

dráticas en el plano de coordenadas

rectangulares, y muestra sus diferencias.

196

propuesta de análisis de la metodología de clases matemáticas universitarias

• Elabora la representación algebraica de

la función lineal y de la función afín, y

muestra sus diferencias.

• Interpreta los resultados obtenidos luego

de la resolución de problemas o ejerci-

cios que involucra las funciones lineales

y cuadráticas.

Argumentos

8. Justifica con rigor su procedimiento en

la resolución de problemas y ejercicios de

funciones lineales y cuadráticas.

9. Promueve momentos de generación y nego-

ciación de argumentos, de validación.

Conocimiento

10. Relaciona y articula de manera signifi-

Ampliado:

cativa los objetos matemáticos puestos

• Relaciones

en juego (situaciones, lenguaje, reglas,

(conexiones,

argumentos) y las distintas configura-

significados)

ciones en que se organizan.

Fuente: Godino (2011). Elaboración propia.

Anexo 6. Idoneidad interaccional del conocimiento didáctico del

docente

Componentes

Indicadores

Resultados

Interacción entre los

11. Favorece el diálogo entre los estudiantes.

Sí

alumnos

12. Favorece la inclusión en el grupo y evita la ex-

Sí

clusión.

Autonomía

13. Contempla momentos en que los estudiantes

asumen la responsabilidad del estudio

(plantea cuestionarios y presenta soluciones;

explora ejemplos y contraejemplos para

investigar y conjeturar).

Evaluación formativa

14. Observa sistemáticamente el progreso cogniti-

Sí

vo de los alumnos.

Interacción docente-

15. Utiliza diferentes recursos y argumentos en

discente

la explicación de la clase que propician la

interacción entre el docente y los estudiantes.

Fuente: Godino (2011). Elaboración propia.

I 197